3.323 \(\int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=318 \[ \frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_4\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d^3 \text {Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b} \]

[Out]

-6*d^2*(d*x+c)*arctanh(exp(2*I*(b*x+a)))/b^3-4*(d*x+c)^3*arctanh(exp(2*I*(b*x+a)))/b-3*d*(d*x+c)^2*csc(2*b*x+2
*a)/b^2-2*(d*x+c)^3*cot(2*b*x+2*a)*csc(2*b*x+2*a)/b+3/2*I*d^3*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3*I*d*(d*x+c)^2
*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^2-3/2*I*d^3*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4-3*I*d*(d*x+c)^2*polylog(2,exp(2*I*
(b*x+a)))/b^2-3*d^2*(d*x+c)*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^3+3*d^2*(d*x+c)*polylog(3,exp(2*I*(b*x+a)))/b^3-3/2
*I*d^3*polylog(4,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3/2*I*d^3*polylog(4,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.32, antiderivative size = 318, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 16, number of rules used = 9, integrand size = 24, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.375, Rules used = {4419, 4186, 4183, 2279, 2391, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac {3 d^2 (c+d x) \text {PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \text {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {3 i d^3 \text {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \text {PolyLog}\left (4,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d^3 \text {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

(-6*d^2*(c + d*x)*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - (4*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (3*d*(c
+ d*x)^2*Csc[2*a + 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)^3*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + (((3*I)/2)*d^3*PolyLog
[2, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (((3*I)/2)*d^3*P
olyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c +
d*x)*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - (((3*I)/2
)*d^3*PolyLog[4, -E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 4419

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[
2^n, Int[(c + d*x)^m*Csc[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IntegerQ[n] && RationalQ[m]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx &=8 \int (c+d x)^3 \csc ^3(2 a+2 b x) \, dx\\ &=-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+4 \int (c+d x)^3 \csc (2 a+2 b x) \, dx+\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \csc (2 a+2 b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}-\frac {(6 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac {(6 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac {\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1+e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x) \text {Li}_2\left (-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x) \text {Li}_2\left (e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (3 i d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {\left (3 i d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{2 b^4}\\ &=-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {\left (3 d^3\right ) \int \text {Li}_3\left (-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {\left (3 d^3\right ) \int \text {Li}_3\left (e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {\left (3 i d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {\left (3 i d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{2 b^4}\\ &=-\frac {6 d^2 (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 d (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac {2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i d^3 \text {Li}_4\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d^3 \text {Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 8.63, size = 483, normalized size = 1.52 \[ -\frac {8 b^3 c^3 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )-12 b^3 c^2 d x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+12 b^3 c^2 d x \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )-12 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+12 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )-4 b^3 d^3 x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+4 b^3 d^3 x^3 \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )-3 i d \text {Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right ) \left (2 b^2 (c+d x)^2+d^2\right )+3 i d \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \left (2 b^2 (c+d x)^2+d^2\right )+2 b^2 (c+d x)^2 \csc (2 (a+b x)) (2 b (c+d x) \cot (2 (a+b x))+3 d)+6 b c d^2 \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )-6 b c d^2 \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )+12 b c d^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )+6 b d^3 x \text {Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )-6 b d^3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )+3 i d^3 \text {Li}_4\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )-3 i d^3 \text {Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )-6 b d^3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+6 b d^3 x \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

-1/2*(8*b^3*c^3*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))] + 12*b*c*d^2*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))] + 2*b^2*(c + d*x)^2*(3*
d + 2*b*(c + d*x)*Cot[2*(a + b*x)])*Csc[2*(a + b*x)] - 12*b^3*c^2*d*x*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))] - 6*b*d^3*x
*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))] - 12*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))] - 4*b^3*d^3*x^3*Log[1 - E^((2*I)
*(a + b*x))] + 12*b^3*c^2*d*x*Log[1 + E^((2*I)*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x*Log[1 + E^((2*I)*(a + b*x))] + 12*b^3*c
*d^2*x^2*Log[1 + E^((2*I)*(a + b*x))] + 4*b^3*d^3*x^3*Log[1 + E^((2*I)*(a + b*x))] - (3*I)*d*(d^2 + 2*b^2*(c +
d*x)^2)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(a + b*x))] + (3*I)*d*(d^2 + 2*b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))]
+ 6*b*c*d^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b*x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[
3, E^((2*I)*(a + b*x))] - 6*b*d^3*x*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))] + (3*I)*d^3*PolyLog[4, -E^((2*I)*(a + b*x)
)] - (3*I)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

________________________________________________________________________________________

fricas [C]  time = 0.95, size = 4193, normalized size = 13.19 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3 - 2*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d
*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a)^2 - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - ((-6*I*
b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x
+ 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^
2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3
*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2
*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)
^2)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - ((6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos
(b*x + a)^4 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(I*cos(b*x
+ a) - sin(b*x + a)) - ((6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (-6*I*
b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)
) - ((-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*
b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - ((6*I*b^2*d^3*x
^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^2*x - 6*I*b
^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((-6*I*b^2*d^3*x^2 - 12*I*b^2*c*d^
2*x - 6*I*b^2*c^2*d - 3*I*d^3)*cos(b*x + a)^4 + (6*I*b^2*d^3*x^2 + 12*I*b^2*c*d^2*x + 6*I*b^2*c^2*d + 3*I*d^3)
*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 2*b^3*c^3 + 3*b*c
*d^2 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 2*b^3*c^3 + 3*b*c*d^2 +
3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*
d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c
*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d
^2*x^2 + 2*b^3*c^3 + 3*b*c*d^2 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2
+ 2*b^3*c^3 + 3*b*c*d^2 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) +
((2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*c^3 - 6*a*b^2
*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) + (
(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)
*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*
(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^
2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3
*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*co
s(b*x + a)^2)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a
^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2
+ 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(-I*cos(b*
x + a) + sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)
*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*
c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)
- ((2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*c^3 - 6*a*
b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x +
a) + 1/2) - ((2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*
c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I
*sin(b*x + a) + 1/2) - ((2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 +
3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2
+ (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + ((2
*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^
2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - ((2
*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2*b^3*c^2*d + b*d^3)*x
)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*a*b^2*c^2*d - 6*a^2*b*c*d^2 + (2*a^3 + 3*a)*d^3 + 3*(2
*b^3*c^2*d + b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d +
3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^3*c^3 - 6*a*b^2*c^2*d + 3*(2*a^2 + 1)*b*c*d^
2 - (2*a^3 + 3*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - (12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 - 12
*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - (-12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 + 12*I*d^3*cos(b*
x + a)^2)*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 - 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*poly
log(4, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - (-12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 + 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, I*cos(
b*x + a) - sin(b*x + a)) - (-12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 + 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + s
in(b*x + a)) - (12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 - 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))
- (-12*I*d^3*cos(b*x + a)^4 + 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - (12*I*d^3*
cos(b*x + a)^4 - 12*I*d^3*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)
*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 12*((b*d^3*x
+ b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 1
2*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*
x + a)) + 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, I*cos(b*x +
a) - sin(b*x + a)) + 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -
I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*
polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(
b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 12*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b*d^3*x + b
*c*d^2)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^4*cos(b*x + a)^4 - b^4*cos(b*x + a)^2)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (d x + c\right )}^{3} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.22, size = 1329, normalized size = 4.18 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x)

[Out]

-3/2*I*d^3*polylog(4,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3/2*I*d^3*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4-3/b^3*d^2*c*ln(1+exp(2*
I*(b*x+a)))-3/b^3*d^3*ln(1+exp(2*I*(b*x+a)))*x-2/b*c^3*ln(1+exp(2*I*(b*x+a)))-2/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-
1)+12/b^3*c*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))+12/b^3*c*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))+12/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(
b*x+a)))*x+12/b^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x-3*I*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^3*c*d^2*polylog(3
,-exp(2*I*(b*x+a)))-3/b^3*d^3*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))*x+2/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+2/b*c^3*ln(exp(I*(b*
x+a))+1)+3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b^3*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/
b^3*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-3/b^4*d^3*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3*I/b^4*d^3*p
olylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+2/b^2/(1+exp(2*I*(b*x+a)))^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2*(2*d^3*x^3*b*exp(6*I*(b*x+a))+6*
c*d^2*x^2*b*exp(6*I*(b*x+a))+6*c^2*d*x*b*exp(6*I*(b*x+a))+2*c^3*b*exp(6*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(6*I*(b*x+a)
)+2*b*d^3*x^3*exp(2*I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(6*I*(b*x+a))+6*b*c*d^2*x^2*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(6*I*(
b*x+a))+6*b*c^2*d*x*exp(2*I*(b*x+a))+2*b*c^3*exp(2*I*(b*x+a))+3*I*d^3*x^2*exp(2*I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x*exp(2*I
*(b*x+a))+3*I*c^2*d*exp(2*I*(b*x+a)))+12*I/b^4*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))+12*I/b^4*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*
x+a)))-6*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*I/b^2*c^2*d*poly
log(2,-exp(2*I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^2*c^2*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-
6*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6/b*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x
+6/b*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+6/b^2*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-6/b^3*c*d^2*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))+6/b*
c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-6/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+2/b*d^3*l
n(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+2/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+2/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3-2/b*d^3*ln(1+exp(2
*I*(b*x+a)))*x^3-6/b*c^2*d*ln(1+exp(2*I*(b*x+a)))*x-6/b*c*d^2*ln(1+exp(2*I*(b*x+a)))*x^2+6*I/b^2*polylog(2,-ex
p(2*I*(b*x+a)))*c*d^2*x-12*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*c*d^2*x-12*I/b^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*c*d^2*x

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 3.73, size = 5610, normalized size = 17.64 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^3*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(b*x + a)^2 - 1) - 2*log(sin(b*
x + a)^2)) - 3*a*c^2*d*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(b*x + a)^2 - 1) -
2*log(sin(b*x + a)^2))/b + 3*a^2*c*d^2*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(
b*x + a)^2 - 1) - 2*log(sin(b*x + a)^2))/b^2 - a^3*d^3*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^
2) + 2*log(sin(b*x + a)^2 - 1) - 2*log(sin(b*x + a)^2))/b^3 + 2*((16*(b*x + a)^3*d^3 + 18*b*c*d^2 - 18*a*d^3 +
36*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 18*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a) + 2*(8*(b*x + a
)^3*d^3 + 9*b*c*d^2 - 9*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*
d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 4*(8*(b*x + a)^3*d^3 + 9*b*c*d^2 - 9*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)
^2 + 9*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (16*I*(b*x + a)^3*d^3 + 18*
I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c*d^2 + (36*I*a^
2 + 18*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + (-32*I*(b*x + a)^3*d^3 - 36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3 + (-72*I*b*c*d
^2 + 72*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-72*I*b^2*c^2*d + 144*I*a*b*c*d^2 + (-72*I*a^2 - 36*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b
*x + 4*a))*arctan2(sin(2*b*x + 2*a), cos(2*b*x + 2*a) + 1) - (12*(b*x + a)^3*d^3 + 18*b*c*d^2 - 18*a*d^3 + 36*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 18*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a) + 6*(2*(b*x + a)^3*
d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*
(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 12*(2*(b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 +
3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - (-12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 18*I*b*
c*d^2 + 18*I*a*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-36*I*b^2*c^2*d + 72*I*a*b*c*d^2 + (-36*I*a^2
- 18*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) - (24*I*(b*x + a)^3*d^3 + 36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3 + (72*I*b*c*d^2
- 72*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (72*I*b^2*c^2*d - 144*I*a*b*c*d^2 + (72*I*a^2 + 36*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x +
4*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (18*b*c*d^2 - 18*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(8*b*x + 8*a)
- 36*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*sin(8*b*x + 8*a) - (36*I*b*c*d^2 - 36*
I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (12*(b*x + a)^3*d^3 + 36*(b*c*d^2 - a*d^3
)*(b*x + a)^2 + 18*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a) + 6*(2*(b*x + a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2
- a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 12*(2*(b
*x + a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*c
os(4*b*x + 4*a) + (12*I*(b*x + a)^3*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b
*c*d^2 + (36*I*a^2 + 18*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + (-24*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-72*I*b*c*d^2 + 72*I*a
*d^3)*(b*x + a)^2 + (-72*I*b^2*c^2*d + 144*I*a*b*c*d^2 + (-72*I*a^2 - 36*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*
arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + (24*I*(b*x + a)^3*d^3 + 36*b^2*c^2*d - 72*a*b*c*d^2 + 36*a^2*d^3 -
36*(-2*I*b*c*d^2 + (2*I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (72*I*b^2*c^2*d - 72*(2*I*a - 1)*b*c*d^2 + (72*I*a^2 - 72*a)
*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) + (24*I*(b*x + a)^3*d^3 - 36*b^2*c^2*d + 72*a*b*c*d^2 - 36*a^2*d^3 + (72*I*b
*c*d^2 - 36*(2*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (72*I*b^2*c^2*d - 72*(2*I*a + 1)*b*c*d^2 + (72*I*a^2 + 72*a)*d^3)*(
b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (18*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*d^2 + 24*(b*x + a)^2*d^3 + 9*(2*a^2 + 1)*d^3 + 36*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 3*(6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 8*(b*x + a)^2*d^3 + 3*(2*a^2 + 1)*d^3 + 12*(b*c*d^2 -
a*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 6*(6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 8*(b*x + a)^2*d^3 + 3*(2*a^2 + 1)*d^3 + 1
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)^2*d^3 + (
-18*I*a^2 - 9*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) - (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c
*d^2 + 48*I*(b*x + a)^2*d^3 + (36*I*a^2 + 18*I)*d^3 + (72*I*b*c*d^2 - 72*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))
*dilog(-e^(2*I*b*x + 2*I*a)) + (36*b^2*c^2*d - 72*a*b*c*d^2 + 36*(b*x + a)^2*d^3 + 18*(2*a^2 + 1)*d^3 + 72*(b*
c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 18*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + 2*(b*x + a)^2*d^3 + (2*a^2 + 1)*d^3 + 4*(b*c*d^2 -
a*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 36*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + 2*(b*x + a)^2*d^3 + (2*a^2 + 1)*d^3 + 4*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)^2*d^3 + (36*I
*a^2 + 18*I)*d^3 + (72*I*b*c*d^2 - 72*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + (-72*I*b^2*c^2*d + 144*I*a*b*c*d^
2 - 72*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-72*I*a^2 - 36*I)*d^3 + (-144*I*b*c*d^2 + 144*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a)
)*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (36*b^2*c^2*d - 72*a*b*c*d^2 + 36*(b*x + a)^2*d^3 + 18*(2*a^2 + 1)*d^3 + 72*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 18*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + 2*(b*x + a)^2*d^3 + (2*a^2 + 1)*d^3 + 4*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 36*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + 2*(b*x + a)^2*d^3 + (2*a^2 + 1)*d^3 + 4*(b*c
*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)^2*d^3 + (36*I*a^
2 + 18*I)*d^3 + (72*I*b*c*d^2 - 72*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + (-72*I*b^2*c^2*d + 144*I*a*b*c*d^2 -
72*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-72*I*a^2 - 36*I)*d^3 + (-144*I*b*c*d^2 + 144*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*d
ilog(e^(I*b*x + I*a)) + (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 - 9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x +
a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 9*I)*d^3)*(b*x + a) + (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 - 9*I*b*c*
d^2 + 9*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 -
9*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) + (16*I*(b*x + a)^3*d^3 + 18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36
*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c*d^2 + (36*I*a^2 + 18*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a)
+ (8*(b*x + a)^3*d^3 + 9*b*c*d^2 - 9*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 9*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 +
(2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) - 2*(8*(b*x + a)^3*d^3 + 9*b*c*d^2 - 9*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a)^2 + 9*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(2*b*x +
2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3 + (18*
I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 9*I)*d^3)*(b*x + a) + (6*
I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I
*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 9*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) + (-12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 18*I*b*c*d^2 + 18*I*
a*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-36*I*b^2*c^2*d + 72*I*a*b*c*d^2 + (-36*I*a^2 - 18*I)*d^3)
*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 3*(2*(b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 +
3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + 6*(2*(b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2
- 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(
4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*I*b*c*d^2 -
9*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 9*I)*d^3
)*(b*x + a) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I
*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 9*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) + (-12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 18*
I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-36*I*b^2*c^2*d + 72*I*a*b*c*d^2 + (-36*I
*a^2 - 18*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 3*(2*(b*x + a)^3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^
3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + 6*(2*(b*x + a)^
3*d^3 + 3*b*c*d^2 - 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + (2*a^2 + 1)*d^3
)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (12*d^3*cos(8*b*x +
8*a) - 24*d^3*cos(4*b*x + 4*a) + 12*I*d^3*sin(8*b*x + 8*a) - 24*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 12*d^3)*polylog(4, -
e^(2*I*b*x + 2*I*a)) - (72*d^3*cos(8*b*x + 8*a) - 144*d^3*cos(4*b*x + 4*a) + 72*I*d^3*sin(8*b*x + 8*a) - 144*I
*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 72*d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) - (72*d^3*cos(8*b*x + 8*a) - 144*d^3*cos(4*b*x +
4*a) + 72*I*d^3*sin(8*b*x + 8*a) - 144*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 72*d^3)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + (-18*I*b
*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 18*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 18*I*a*d^3)*cos(8*b*x + 8*a)
+ (36*I*b*c*d^2 + 48*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 6*(3*b*c*d^2 + 4*(b*x + a)*d^3 - 3*a*d^3
)*sin(8*b*x + 8*a) - 12*(3*b*c*d^2 + 4*(b*x + a)*d^3 - 3*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*polylog(3, -e^(2*I*b*x + 2*I
*a)) + (72*I*b*c*d^2 + 72*I*(b*x + a)*d^3 - 72*I*a*d^3 + (72*I*b*c*d^2 + 72*I*(b*x + a)*d^3 - 72*I*a*d^3)*cos(
8*b*x + 8*a) + (-144*I*b*c*d^2 - 144*I*(b*x + a)*d^3 + 144*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 72*(b*c*d^2 + (b*x + a)
*d^3 - a*d^3)*sin(8*b*x + 8*a) + 144*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*polylog(3, -e^(I*b*x
+ I*a)) + (72*I*b*c*d^2 + 72*I*(b*x + a)*d^3 - 72*I*a*d^3 + (72*I*b*c*d^2 + 72*I*(b*x + a)*d^3 - 72*I*a*d^3)*c
os(8*b*x + 8*a) + (-144*I*b*c*d^2 - 144*I*(b*x + a)*d^3 + 144*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 72*(b*c*d^2 + (b*x +
a)*d^3 - a*d^3)*sin(8*b*x + 8*a) + 144*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*polylog(3, e^(I*b*
x + I*a)) - (24*(b*x + a)^3*d^3 - 36*I*b^2*c^2*d + 72*I*a*b*c*d^2 - 36*I*a^2*d^3 + (72*b*c*d^2 - (72*a + 36*I)
*d^3)*(b*x + a)^2 + (72*b^2*c^2*d - (144*a + 72*I)*b*c*d^2 + 72*(a^2 + I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) -
(24*(b*x + a)^3*d^3 + 36*I*b^2*c^2*d - 72*I*a*b*c*d^2 + 36*I*a^2*d^3 + (72*b*c*d^2 - (72*a - 36*I)*d^3)*(b*x
+ a)^2 + (72*b^2*c^2*d - (144*a - 72*I)*b*c*d^2 + 72*(a^2 - I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(-6*I*b^3*c
os(8*b*x + 8*a) + 12*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) + 6*b^3*sin(8*b*x + 8*a) - 12*b^3*sin(4*b*x + 4*a) - 6*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

mupad [F(-1)]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \text {Hanged} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c + d*x)^3/(cos(a + b*x)^3*sin(a + b*x)^3),x)

[Out]

\text{Hanged}

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________